Question

求下列各題中的函數f(x)的解析式．
(1) 已知f(＋2)＝x＋4，求f(x)；
(2) 已知f＝lgx，求f(x)；
(3) 已知函數y＝f(x)滿足2f(x)＋f＝2x，x∈R且x≠0，求f(x)；
(4) 已知f(x)是二次函數，且滿足f(0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求f(x)．

Answer 1

（1）f(x)＝x²－4(x≥2)（2）f(x)＝lg(x>1)．（3）f(x)＝x－（4）f(x)＝x²－x＋1.

(1) (解法1)設t＝＋2，則＝t－2，即x＝(t－2)²，
∴  f(t)＝(t－2)²＋4(t－2)＝t²－4，
∴  f(x)＝x²－4(x≥2)．
(解法2)∵  f(＋2)＝(＋2)²－4，∴  f(x)＝x²－4(x≥2)．
(2) 設t＝＋1，則x＝，∴  f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1)．
(3) 由2f(x)＋f＝2x，①將x換成，則換成x，得2f＋f＝，②
①×2－②，得3f(x)＝4x－，得f(x)＝x－.
(4) ∵  f(x)是二次函數，∴ 設f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c＝1.
由f(x＋1)＝f(x)＋2x，得a(x＋1)²＋b(x＋1)＋1＝(ax²＋bx＋1)＋2x，
整理，得(2a－2)x＋(a＋b)＝0，由恒等式原理，知
∴f(x)＝x²－x＋1