Question

若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=

1

4

a_n+1（n≥1），則a_n=

4

3

(-

1

3

)n-1

，

lim

n→∞

（a₁+a₂+a₃+…+a_n）的值是

1

．

Answer 1

分析：在S_n=

1

4

a_n+1（n≥1）①中，令n=1可得a₁．當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=

1

4

a_n-1+1 ②，用①減去②，化簡(jiǎn)可得a_n=-

1

3

a_n-1，可得數(shù)列為等比數(shù)列，公比為-

1

3

，
由此求得a_n．再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求得 S_n，可得

lim

n→∞

（a₁+a₂+a₃+…+a_n）=

lim

n→∞

S_n 的值．

解答：解：由于數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=

1

4

a_n+1（n≥1）①，令n=1可得a₁=

4

3

．
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=

1

4

a_n-1+1 ②，用①減去②，化簡(jiǎn)可得a_n=-

1

3

a_n-1，故數(shù)列為等比數(shù)列，公比為-

1

3

，∴a_n=

4

3

(-

1

3

)n-1．
∴S_n=

4 3 [1-(- 1 3 )n]

1+ 1 3

=1-(-

1

3

)n，∴

lim

n→∞

（a₁+a₂+a₃+…+a_n）=

lim

n→∞

S_n=

lim

n→∞

[1-(-

1

3

)n]=1，
故答案為

4

3

(-

1

3

)n-1、1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)之間的關(guān)系，等比數(shù)列的求和公式，數(shù)列極限的運(yùn)算法則的應(yīng)用，屬于中檔題．