Question

（本小題滿分12分）
如右圖，四邊形是圓柱的軸截面，點在圓柱的底面圓周上，是的中點，圓柱的底面圓的半徑，側面積為，．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

解：（1）(解法一)：由題意可知 ，解得  ，                                   
在中，， ∴ ，
又 ∵是的中點，∴ .①       ∵ 為圓的直徑，∴ .
由已知知 ，∴ ，∴  .   
∴ . ②∴ 由①②可知：，∴ .                  
（2） 由（1）知：， ∴，，
∴是二面角的平面角 .  , , .

∴ .  . 
(解法二)：建立如圖所示的直角坐標系，
由題意可知.解得.              
則，，， ， ∵是的中點，∴ 可求得.  
（1），，∴ . ∵，∴ .  
（2）由（1）知,， ，，  .  
∵，  ∴是平面的法向量.         
設是平面的法向量，由，，解得                                 . 所以二面角的平面角的余弦值.  

略