Question

如圖，設點A（x₀，y₀）為拋物線y2=

x

2

上位于第一象限內的一動點，點B（0，y₁）在y軸正半軸上，且|OA|=|OB|，直線AB交x軸于點P（x₂，0）．
（Ⅰ）試用x₀表示y₁；
（Ⅱ）試用x₀表示x₂；
（Ⅲ）當點A沿拋物線無限趨近于原點O時，求點P的極限坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據兩點間的距離公式得到|OA|與|OB|，根據A在拋物線上消去y₀即可用x₀表示y₁．
（Ⅱ）先表示出直線AB的斜率，從而可得到直線AB的方程，然后令y=0得到所求的用x₀表示x₂．
（Ⅲ）對（Ⅱ）中x₂的關系式求極限，即可得到P的極限坐標．

解答：解：（Ⅰ）|OA|=

x 2 0 + y 2 0

=

x 2 0 + x0 2

=

1

2

4 x 2 0 +2x0

，
∴y1=|OB|=

1

2

4 x 2 0 +2x0

．
（Ⅱ）kAB=

y1-y0

-x0

，
=

1 2 4 x 2 0 +2x0 - x0 2

-x0

，
=

2x0 - 4x0 2+2x0

2x0

，
直線AB的方程為
y=

2x0 - 4x0 2+2x0

2x0

x+

1

2

4x0 2+2x0

，
令y=0，得
x2=

2x0+1+ 2x0+1

2

．
（Ⅲ）

lim

x→0+

x2=

lim

x→0+

2x0+1+ 2x0+1

2

=1，
故當點A沿拋物線無限趨近于原點O時，求點P的極限坐標是（1，0）．

點評：本題主要考查直線與拋物線的綜合問題，直線與圓錐曲線的綜合問題每年必考，而且經常是以壓軸題的形式出現，分值比較高，一定要準備充分．