Question

如圖，設點A（x₀，y₀）為拋物線上位于第一象限內的一動點，點B（0，y₁）在y軸正半軸上，且|OA|=|OB|，直線AB交x軸于點P（x₂，0）．
（Ⅰ）試用x₀表示y₁；
（Ⅱ）試用x₀表示x₂；
（Ⅲ）當點A沿拋物線無限趨近于原點O時，求點P的極限坐標．

Answer 1

解：（Ⅰ）=，
∴．
（Ⅱ），
=，
=，
直線AB的方程為
，
令y=0，得
．
（Ⅲ），
故當點A沿拋物線無限趨近于原點O時，求點P的極限坐標是（1，0）．
分析：（Ⅰ）先根據兩點間的距離公式得到|OA|與|OB|，根據A在拋物線上消去y₀即可用x₀表示y₁．
（Ⅱ）先表示出直線AB的斜率，從而可得到直線AB的方程，然后令y=0得到所求的用x₀表示x₂．
（Ⅲ）對（Ⅱ）中x₂的關系式求極限，即可得到P的極限坐標．
點評：本題主要考查直線與拋物線的綜合問題，直線與圓錐曲線的綜合問題每年必考，而且經常是以壓軸題的形式出現，分值比較高，一定要準備充分．