Question

已知橢圓E：（a＞1）的離心率，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當圓C與y軸相切的時候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標原點，求△OMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由橢圓E的離心率，知，由此能求出橢圓E的方程．
（Ⅱ）聯立方程，得M，N的坐標分別為（2t，），（2t，-），再由圓C的直徑為MN，且與y軸相切，能求出t的值．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得△OMN的面積S=≤2×=1，由此能求出△OMN的面積的最大值為1．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓E的離心率，
∴，
解得a=2，
故橢圓E的方程為．
（Ⅱ）聯立方程，得，
即M，N的坐標分別為（2t，），（2t，-），
∵圓C的直徑為MN，且與y軸相切，
∴2t=，∵t＞0，∴t=．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得△OMN的面積S=≤2×=1，
當且僅當即時，等號成立，
故△OMN的面積的最大值為1．
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實數值的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．