Question

已知將給定的兩個全等的正三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個所有二面角都相等的六面體，并且該六面體的最短棱長為2．則最遠的兩頂點的距離是（　　）

• A．2
• B．

  5

  2

• C．3
• D．

  7

  2

Answer 1

分析：該六面體的棱只有兩種，設原正三棱錐的底面邊長為2a，側棱為b，作出二面角A-CD-E的平面角、二面角B-AC-D的平面角，利用cos∠AGE=cos∠BFD，即可求得結論．

解答：解：該六面體的棱只有兩種，設原正三棱錐的底面邊長為2a，側棱為b．
取CD中點G，則AG⊥CD，EG⊥CD，故∠AGE是二面角A-CD-E的平面角．
由BD⊥AC，作平面BDF⊥棱AC交AC于F，則∠BFD為二面角B-AC-D的平面角．
AG=EG=

b2-a2

，BF=DF=

2a b2-a2

b

，AE=2

b2- 4 3 a2

．
由cos∠AGE=cos∠BFD，得

2AG2-AE2

2AG2

=

2BF2-BD2

2BF2

．
∴

4(b2- 4 3 a2)

b2-a2

=

4a2b2

4a2(b2-a2)

，∴9b²=16a²，
∴b=

4

3

a，從而b=2，2a=3，AE=2．
∴最遠的兩個頂點距離為3．
故選C．

點評：本題考查與二面角有關的立體幾何的綜合，考查二面角的求法，考查學生的計算能力，屬于中檔題．