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已知將給定的兩個全等的正三棱錐的底面粘在一起,恰得到一個所有二面角都相等的六面體,并且該六面體的最短棱的長為2,則最遠的兩頂點間的距離是
3
3
分析:該六面體的棱只有兩種,設原正三棱錐的底面邊長為2a,側棱為b,作出二面角A-CD-E的平面角、二面角B-AC-D的平面角,利用cos∠AGE=cos∠BFD,即可求得結論.
解答:解:該六面體的棱只有兩種,設原正三棱錐的底面邊長為2a,側棱為b.
取CD中點G,則AG⊥CD,EG⊥CD,故∠AGE是二面角A-CD-E的平面角.
由BD⊥AC,作平面BDF⊥棱AC交AC于F,則∠BFD為二面角B-AC-D的平面角.
AG=EG=
b2-a2
,BF=DF=
2a
b2-a2
b
,AE=2
b2-(
2
3
3
a)2
=2
b2-
4
3
a2

由cos∠AGE=cos∠BFD,得
2AG2-AE2
2AG2
=
2BF2-BD2
2BF2

4(b2-
4
3
a2)
b2-a2
=
4a2b2
4a2(b2-a2)
,∴9b2=16a2
∴b=
4
3
a,從而b=2,2a=3,AE=2.
∴最遠的兩個頂點距離為3.
故答案為:3
點評:本題考查與二面角有關的立體幾何的綜合,考查二面角的求法,考查學生的計算能力,屬于中檔題.
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A.2
B.
C.3
D.

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