Question

已知函數(shù)，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)a＞0，求函數(shù)f（x）在[2a，4a]上的最小值．

Answer 1

解：（1）定義域?yàn)椋?，+∞），，令，則x=e，
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，e）；單調(diào)減區(qū)間為（e，+∞）．
（2）由（1）知f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，所以，
當(dāng)4a≤e時(shí)，即0＜時(shí)，f（x）在[2a，4a]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（2a）=；
當(dāng)2a≥e時(shí)，即a≥f（x）在[2a，4a]上單調(diào)遞減，∴f（x）_min=f（4a）=
當(dāng)2a＜e＜4a時(shí)，即時(shí)，f（x）在[2a，e]上單調(diào)遞增，f（x）在[e，4a]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=min{f（2a），f（4a）}．下面比較f（2a），f（4a）的大小，
∵，
∴若，則f（a）-f（2a）≤0，此時(shí)；
若，則f（a）-f（2a）＞0，此時(shí)；
綜上得：當(dāng)0＜a≤1時(shí)，；
當(dāng)a＞1時(shí)，．
分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，注意極值點(diǎn)是否在定義域內(nèi)，分類討論，極值與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值=比較大小．
點(diǎn)評(píng)：（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，本題對(duì)參數(shù)的討論是難點(diǎn)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．