Question

若ΔABC所在的平面和ΔA₁B₁C₁所在平面相交，并且直線AA₁、BB₁、CC₁相交于一點O，求證：

(1)AB和A₁B₁、BC和B₁C₁、AC和A₁C₁分別在同一平面內；

(2)如果AB和A₁B₁、BC和B₁C₁、AC和A₁C₁分別相交，那么交點在同一直線上(如圖)．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)證明：∵AA₁∩BB₁＝O，

　　∴AA₁、BB₁確定平面BAO，

　　∵A、A₁、B、B₁都在平面ABO內，

　　∴AB平面ABO；A₁B₁平面ABO．

　　同理可證，BC和B₁C₁、AC和A₁C₁分別在同一平面內．

　　(2)分析：欲證兩直線的交點在一條直線上，可根據公理2，證明這兩條直線分別在兩個相交平面內，那么，它們的交點就在這兩個平面的交線上．

　　證明：如上圖，設AB∩A₁B₁＝P；

　　AC∩A₁C₁＝R；

　　∴面ABC∩面A₁B₁C₁＝PR．

　　∵BC面ABC；B₁C₁面A₁B₁C₁，

　　且BC∩B₁C₁＝Q∴Q∈PR，

　　即P、R、Q在同一直線上．