Question

是否存在正整數m使得f(n)＝(2n＋7)·3ⁿ＋9對任意自然數n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并證明你的結論；若不存在，說明理由．

Answer 1

解　由f(n)＝(2n＋7)·3ⁿ＋9得，f(1)＝36，f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36，由此猜想：m＝36.

下面用數學歸納法證明：

(1)當n＝1時，顯然成立；

(2)假設n＝k(k∈N^*且k≥1)時，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3^k＋9能被36整除；當n＝k＋1時，[2(k＋1)＋7]·3^k＋1＋9＝(2k＋7)·3^k＋1＋27－27＋2·3^k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3^k＋9]＋18(3^k－1－1)，

由于3^k－1－1是2的倍數，故18(3^k－1－1)能被36整除，這就是說，當n＝k＋1時，f(n)也能被36整除．

由(1)(2)可知對一切正整數n都有f(n)＝(2n＋7)·3ⁿ＋9能被36整除，m的最大值為36.