Question

已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E為BC中點，AE與BD交于O點，AB=BC=2CD，PO⊥平面ABCD．
（1）求證：BD⊥PE；
（2）若AO=2PO，求二面角D-PE-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先證明OB⊥AE、PO⊥BD，利用線面垂直的判定定理，可得BD⊥平面PAE，從而可得BD⊥PE；
（2）過B作BF⊥PE，F為垂足，連接DF，OF，可得∠BFD為二面角D-PE-B的平面角，利用余弦定理，可求求二面角D-PE-B的余弦值．

解答：（1）證明：∵AB=BC，BE=CD，∠ABC=∠BCS
∴△ABE≌△BCD
∴∠EAB=∠CBD
∴∠BOE=∠EAB+∠OBA=∠CBD+∠OBA=90°
∴OB⊥AE
∵PO⊥平面ABCD，BD?平面ABCD
∴PO⊥BD
∵AE∩PO=O
∴BD⊥平面PAE
∵PE?平面ABCD，
∴BD⊥PE；
（2）解：過B作BF⊥PE，F為垂足，連接DF，OF，
∵BD⊥PE，BD∩BF=B
∴PE⊥平面BDF
∴DF⊥PE
∴∠BFD為二面角D-PE-B的平面角
設OE=1，則OB=2，OD=3，OA=4，OP=2
∵OF=

OP•OE

PE

=

2

5

∴BF=

2 6

5

，DF=

7

5

∴cos∠BFD=

BF2+DF2-BD2

2BF•DF

=-

13

42

6

∴二面角D-PE-B的余弦值為-

13

42

6

．

點評：本題考查線面垂直的判定與性質，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．