Question

已知函數．
（1）設a=1時，求函數f（x）極大值和極小值；
（2）a∈R時討論函數f（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）a=1，f（x）=-3x+ln（2x+1），x＞-，可求得f′（x）=，通過將x、f（x）、f′（x）的變化情況列表可求得函數f（x）極大值和極小值；
（2）求得f′（x）=，通過比較2a與-，2a與的大小，分類討論，利用函數單調性與極值之間的關系即可求得函數f（x）的單調區間．
解答：解：（1）∵a=1，
∴f（x）=-3x+ln（2x+1），x＞-，
f'（x）=x-3+==，…（1分）
令f'（x）=0，則x=或x=2…（2分）
x、f（x）、f′（x）的變化情況如下表：

x	（-，）		（，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大	↙	極小	↗

…（4分）
由上表可得：，…（5分）
（2）f'（x）=x-（1+2a）+==
令f'（x）=0，則x=或x=2a…（6分）
i、當2a＞，即a＞時，

x	（-，）		（，2a）	2a	（2a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↙		↗

所以f（x）的增區間為（-，）和（2a，+∞），減區間為（，2a）…（8分）
ii、當2a=，即a=時，f'（x）=≥0在（，+∞）上恒成立，
所以f（x）的增區間為（，+∞）…（10分）
iii、當-＜2a＜，即-＜a＜時，

x	（-，2a）	2a	（2a，）		（，+∞）
f'（x）	+	0	-		+
f（x）	↗		↙		↗

所以f（x）的增區間為（-，2a）和（，+∞），減區間為（2a，）…（12分）
iv、當2a≤-，即a≤-時，

x	（-，）		（，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↙		↗

所以f（x）的增區間為（，+∞），減區間為（-，）…（14分）
綜上述：a≤-時，f（x）的增區間為（，+∞），減區間為（-，）-＜a＜時，f（x）的增區間為（-，2a）和（，+∞），減區間為（2a，）a=時，f（x）的增區間為（，+∞）a＞時，f（x）的增區間為（-，）和（2a，+∞），減區間為（，2a）
說明：如果前面過程完整，最后沒有綜上述，可不扣分
點評：本題考查利用導數研究函數的極值與單調性，著重考查求函數極值的基本步驟，突出化歸思想與分類討論思想的考查，屬于難題．