Question

已知函數．
（1）設a=1，討論f（x）的單調性；
（2）若對任意的，都有f（x）＜-2，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當a=1時，先求出f′（x），然后解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可．
（2）本題屬于恒成立問題，轉化為函數最值問題，利用導數求出最值即可求得．
解答：解：（1）當a=1時，，其定義域為（0，+∞）．
f′（x）=．
設g（x）=1-x-lnx（x＞0），則g′（x）=-1-＜0，所以g（x）在（0，+∞）上是減函數，
又g（1）=0，于是x∈（0，1）時，g（x）＞0，f′（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，g（x）＜0，f′（x）＜0．
所以f（x）的增區間是（0，1），減區間是（1，+∞）．
（2）由f（x）＜-2可得，由于，則lnx＜0，于是．
令，則h′（x）=1-=，當x∈（0，）時，h′（x）＞0，
于是h（x）在上單調遞增，因此h（x）在上的最大值為，
因此要使f（x）＜-2恒成立，應有．
故實數a的取值范圍是．
點評：本題考查了如何利用導數研究函數的單調性以及不等式恒成立問題，轉化為求函數最值問題是解決不等式恒成立的常用方法．