Question

【題目】已知橢圓（）的一個焦點(diǎn)是， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，且橢圓短軸的兩個三等分點(diǎn)與一個焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿足，當(dāng)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：根據(jù)c=1,短軸的兩個三等分點(diǎn)與一個焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，得出a,b，寫出橢圓的方程，設(shè)AB的方程，聯(lián)立方程組，代入整理，利用 設(shè)而不求思想，借助根與系數(shù)關(guān)系解題，根據(jù)向量所提供的坐標(biāo)關(guān)系結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，依據(jù)題目所給的向量差的模小于，解出的范圍 。

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)為短軸的兩個三等分點(diǎn)，因為△MNF為正三角形，

所以， ， ，

因此，橢圓C的方程為．

（Ⅱ）設(shè)， ， ， 的方程為，

由整理得，

由，得

，

則，

由點(diǎn)在橢圓上，得，

化簡得，

因為，所以，

即，

即，

即，所以，

即，因為，

所以，

所以，即的取值范圍為．