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已知點O、N、P在△ABC所在的平面內,
NA
+
NB
+
NC
=
O
|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|
PA
PB
=
PB
PC
=
PC
PA
,則點O、N、P依次是△ABC的
外心
外心
重心
重心
垂心
垂心
分析:根據三角形外接圓的性質,結合|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|
可得O為△ABC的外心;根據向量加法的平行四邊形法則和向量共線定理,可證出N為△ABC的三條中線的交點,得N為△ABC的重心;根據向量數量積的運算性質與向量減法法則,結合
PA
PB
=
PB
PC
證出
CA
PB
,同理
CB
PA
AB
PC
,因此P為P為△ABC的垂心.
解答:解:①若|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|
,則點O到A、B、C三點的距離相等,
∴O為△ABC的外接圓的圓心,即外心;
②若
NA
+
NB
+
NC
=
O
,則
NA
+
NB
=-
NC

以NA、NB為鄰邊作平行四邊形NAGB,
可得GN、AB的交點E為AB的中點,且E、N、C三點共線.
因此,CE為△ABC的中線.同理可得BN、AN也在△ABC的中線上.
∴點N為△ABC的三條中線的交點,可得N為△ABC的重心;
③若
PA
PB
=
PB
PC
=
PC
PA

可得
PA
PB
-
PB
PC
=0
,即(
PA
-
PC
)•
PB
=0

CA
PB
=0
,可得
CA
PB
,點P在AC邊上的高所在直線上.
同理可得點P也在AB、BC邊上的高所在直線上.
因此,P是△ABC三條高所在直線的交點,即得P為△ABC的垂心.
綜上所述,點O、N、P依次是△ABC的外心、重心、垂心.
故答案為:外心、重心、垂心
點評:本題給出三角形中的點滿足的向量式,求該點是三角形“五心”中的哪一個.著重考查了向量的加法、減法法則和向量數量積的運算性質等知識,考查了向量在幾何中的應用,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知點O、N、P在△ABC所在平面內,且|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|
NA
+
NB
+
NC
=
0
PA
PB
=
PB
PC
=
PC
PA
,則點O、N、P依次為△ABC的(  )
A、重心、外心、垂心
B、重心、外心、內心
C、外心、重心、垂心
D、外心、重心、內心

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知點O、N、P在ABC所在的平面內,且三向量NA+NB+NC=0,則點O、N、P依次是ABC的(  )

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科目:高中數學 來源:2013屆遼寧省遼南協作體高一下學期期中考試數學(理) 題型:選擇題

已知點O、N、P在所在平面內,且

,則點O、N、P依次是的(     )

A.重心、外心、垂心    B.重心、外心、內心

C.外心、重心、垂心    D.外心、重心、,內心

(注:三角形的三條高線交于一點,此點稱為三角形的垂心)

 

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科目:高中數學 來源:2011-2012學年江西省吉安市安福中學高三(上)第一次月考數學試卷(文科)(解析版) 題型:選擇題

已知點O、N、P在△ABC所在平面內,且==,則點O、N、P依次為△ABC的( )
A.重心、外心、垂心
B.重心、外心、內心
C.外心、重心、垂心
D.外心、重心、內心

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