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已知向量
m
=(2sinx,1),
n
=(
3
cosx,2cos2x),函數f(x)=
m
n
-t.
(Ⅰ)若方程f(x)=0 在x∈[0,
π
2
]上有解,求t 的取值范圍;
(Ⅱ)在△ABC 中,a,b,c分別是A,B,C 所對的邊,當t=3 且f(A)=-1,b+c=2 時,求a 的最小值.
分析:(I)利用向量的數量積公式和三角恒等變換公式,化簡得f(x)=2sin(2x+
π
6
)+1-t,利用正弦函數的圖象與性質,算出f(x)在[0,
π
2
]上的值域為[-t,3-t],結合題意建立關于t的不等式組,解之可得t的取值范圍;
(II)由(I)結合t=3可得f(x)=2sin(2x+
π
6
)-2,結合A為三角形的內角解方程f(A)=-1,得到A=
π
3

△ABC中利用余弦定理算出a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc,根據b+c=2將a2化成關于b的函數,利用二次函數
的性質即可算出當b=c=1時,邊a的最小值為1.
解答:解:(Ⅰ)∵
m
=(2sinx,1),
n
=(
3
cosx,2cos2x),
∴f(x)=
m
n
-t=2
3
sinxcosx+2cos2x-t
=
3
sin2x+cos2x+1-t=2sin(2x+
π
6
)+1-t,
∵x∈[0,
π
2
],得2x+
π
6
∈[
π
6
6
],
∴-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1,可得2sin(2x+
π
6
)+1-t∈[-t,3-t].
∵方程f(x)=0 在x∈[0,
π
2
]上有解,
∴0∈[-t,3-t],
-t≤0
3-t≥0

解得0≤t≤3;
(II)根據t=3,由(I)得f(x)=2sin(2x+
π
6
)+1-t=2sin(2x+
π
6
)-2,
∵f(A)=-1,
∴代入函數式,可得2sin(2A+
π
6
)-2=-1,解得sin(2A+
π
6
)=
1
2

∵2A+
π
6
∈(
π
6
13π
6
),
∴2A+
π
6
=
6
,解得A=
π
3

∵在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,
∴a2=b2+c2-2bccos
π
3
=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc.
∵b+c=2,可得c=2-b,
∴代入上式得:a2=4-3b(2-b)=3b2-6b+4=3(b-1)2+1,
∵(b-1)2≥0,∴a2≥1,當且僅當b=1時等號成立.
因此,當b=1時即b=c=1時,邊a的最小值為1.
點評:本題給出以向量的數量積為解析式的函數,求函數的表達式并依此討論三角形的邊長的最小值問題.著重考查了向量的數量積公式、三角恒等變換公式和余弦定理和二次函數的性質等知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

請選做一題,都做時按先做的題判分,都做不加分.
(1)已知向量
m
=(2sinx,cosx-sinx),
n
=(
3
cosx,cosx+sinx)
,函數f(x)=
m
n

①求函數f(x)的最小正周期和值域;
②在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,若f(
A
2
)=2
且a2=bc,試判斷△ABC的形狀.
(2)已知銳角△ABC,sin(A+B)=
3
5
,sin(A-B)=
1
5

①求證:tanA=2tanB;
②設AB=3,求AB邊上的高CD的長.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知向量
m
=(2sinx,2cosx),
n
=(
3
cosx,cosx),f(x)=
m
n
-1.
(1)求函數f(x)的最小正周期和單調遞增區間;
(2)將函數y=f(x)的圖象上各點的縱坐標保持不變,橫坐標先縮短到原來的
1
2
,把所得到的圖象再向左平移
π
6
單位,得到函數y=g(x)的圖象,求函數y=g(x)在區間[0,
π
8
]上的最小值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知向量
m
=(2sinx,cosx),
n
=(
3
cosx,2cosx),定義函數f(x)=m•n-1
(1)求f(x)的最小正周期
(2)求f(x)的單調遞增區間.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•浙江模擬)已知向量
m
=(2sinx,1),
n
=(
3
cosx,2cos2x),函數f(x)=
m
n
-t.
(Ⅰ)若方程f(x)=0在x∈[0,
π
2
]上有解,求t的取值范圍;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分別是A,B,C所對的邊,當(Ⅰ)中的t取最大值且f(A)=-1,b+c=2時,求a的最小值.

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