Question

（2013•浙江模擬）已知向量

m

=（2sinx，1），

n

=（

3

cosx，2cos²x），函數f（x）=

m

•

n

-t．
（Ⅰ）若方程f（x）=0在x∈[0，

π

2

]上有解，求t的取值范圍；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C所對的邊，當（Ⅰ）中的t取最大值且f（A）=-1，b+c=2時，求a的最小值．

Answer 1

分析：（I）由向量數量積的公式與三角恒等變換公式化簡，得

m

•

n

=2sin（2x+

π

6

）+1．從而得到方程f（x）=0在x∈[0，

π

2

]上有解即t=2sin（2x+

π

6

）+1在x∈[0，

π

2

]上有解，再利用正弦函數的圖象與性質加以計算，即可得到t的取值范圍；
（II）由（I）得f（A）=2sin（2A+

π

6

）-2=-1，結合A為三角形的內角解出A=

π

3

．在△ABC中根據余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子算出a²=b²+c²-bc，結合b+c=2化簡得a²=3b²-6b+4，再利用二次函數的性質加以計算，可得當且僅當b=c=1時，邊a的最小值為1．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=（2sinx，1），

n

=（

3

cosx，2cos²x），
∴

m

•

n

=2

3

sinxcosx+2cos²x=

3

sin2x+（1+cos2x）=2sin（2x+

π

6

）+1．
∵f（x）=

m

•

n

-t，方程f（x）=0在x∈[0，

π

2

]上有解，
∴

m

•

n

=t在x∈[0，

π

2

]上有解，即t=2sin（2x+

π

6

）+1在x∈[0，

π

2

]上有解．
∵當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，可得sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴當x∈[0，

π

2

]時，

m

•

n

=2sin（2x+

π

6

）+1∈[0，3]，
由此可得：若方程f（x）=0在x∈[0，

π

2

]上有解，t的取值范圍為[0，3]；
（Ⅱ）由（I）得t=3，可得f（A）=2sin（2A+

π

6

）-2=-1，
∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，結合A∈（0，π）解之得A=

π

3

．
∵△ABC中，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，∴a²=b²+c²-2bccos

π

3

=b²+c²-bc，
∵b+c=2，得c=2-b，∴a²=b²+（2-b）²-b（2-b）=3b²-6b+4=3（b-1）²+1，
因此，當b=1時，即b=c=1時，邊a的最小值為1．

點評：本題給出向量

m

、

n

含有三角函數式的坐標，求函數f（x）=

m

•

n

-t在指定區間上有零點的問題，并依此求三角形ABC邊a的最小值．著重考查向量的數量積公式、三角恒等變換公式、正弦函數的圖象與性質和二次函數的性質等知識，屬于中檔題．