Question

如圖，在長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1,AA₁=2,G是CC₁上的動點。

（Ⅰ）求證：平面ADG⊥平面CDD₁C₁

（Ⅱ）判斷B₁C₁與平面ADG的位置關系，并給出證明；

（Ⅲ）若G是CC₁的中點，求二面角G－AD－C的大小。

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）當點G與C₁重合時，B₁C₁在平面ADG內，

當點G與C₁不重合時，B₁C₁∥平面ADG（Ⅲ）45°

解析:

（Ⅰ）∵ ABCD－A₁B₁C₁D₁是長方體，且AB=AD

        ∴平面-----------------------------------2分

        ∵平面    ∴平面ADG⊥平面CDD₁C₁----------------------------4分

（Ⅱ）當點G與C₁重合時，B₁C₁在平面ADG內，

當點G與C₁不重合時，B₁C₁∥平面ADG-------------------------------------------6分

證明：∵ABCD－A₁B₁C₁D₁是長方體，

∴B₁C₁∥AD

若點G與C₁重合， 平面ADG即B₁C₁與AD確定的平面，∴B₁C₁平面ADG

若點G與C₁不重合

∵平面,平面且B₁C₁∥AD

∴B₁C₁∥平面ADG----------------------------------------------------------10分

（Ⅲ）∵  ∴為二面角G－AD－C的平面角----12分

在Rt△GDC中，∵GC=1,DC=1   ∴=45°-------------------13分