Question

已知函數f(x)=(

x

+

2

)2(x＞0)，設正項數列a_n的首項a₁=2，前n 項和S_n滿足S_n=f（S_n-1）（n＞1，且n∈N^*）．
（1）求a_n的表達式；
（2）在平面直角坐標系內，直線l_n的斜率為a_n，且l_n與曲線y=x²相切，l_n又與y軸交于點D_n（0，b_n），當n∈N^*時，記dn=

1

4

|

Dn+1Dn

|-1，若Cn=

d 2 n+1 + d 2 n

2dn+1dn

，設T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n，求

lim

n→∞

n

Tn

．

Answer 1

分析：（1）由Sn=(

Sn-1

+

2

) 2得：

Sn

-

Sn-1

=

2

，，所以

Sn

=

2

n，由此能求出a_n．
（2）設l_n：y=a_nx+b_n，由

y=anx+bn y=x2

，知x²-a_nx-b_n=0，據題意知方程有相等實根，所以bn=-

1

4

an2=-

1

4

(4n-2)2=-(2n-1)2，由此能夠推導出

lim

n→∞

n

Tn

．

解答：解：（1）由Sn=(

Sn-1

+

2

) 2得：

Sn

-

Sn-1

=

2

，∴數列{

Sn

}是以

2

為公差的等差數列，
∴

Sn

=

2

n，S_n=2n²，a_n=S_n-S_n-1=4n-2（n≥2），又a₁=2．
∴a_n=4n-2，n∈N^*．
（2）設l_n：y=a_nx+b_n，由

y=anx+bn y=x2

⇒x²-a_nx-b_n=0．
據題意知方程有相等實根，∴△=a_n²+4b_n=0，
∴bn=-

1

4

an2=-

1

4

(4n-2)2=-(2n-1)2，
當n∈N^*時，dn=

1

4

|bn-bn+1| -1=

1

4

|-(2n-1)2+(2n+1)2|  -1=2n-1，∴Cn=

(2n+1)2+(2n-1)2

2(4n2-1)

=

8n2+2

2(4n2-1)

=1+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，Tn=C1+C2+C3++Cn=n+(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)++(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=n+1-

1

2n+1

=

2n2+3n

2n+1

．
∴

lim

n→∞

n

Tn

=

lim

n→∞

2n2+3n

2n+1

=1

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意極限的合理運用．