Question

已知0＜x＜

π

2

，且t是大于0的常數(shù)，f(x)=

1

sinx

+

t

1-sinx

的最小值為9，則t=______．

Answer 1

由題，可令a=sinx，b=1-sinx，由0＜x＜

π

2

知，a，b∈（0，1）
此時有M=

1

a

+

t

b

的最小值為9，且a+b=1
所以M=（

1

a

+

t

b

）（a+b）=1+t+

b

a

+

at

b

≥1+t+2

t

=9等號當且僅當

b

a

=

at

b

①時成立，
解1+t+2

t

=9可得t=4，將t=4代入①可解得sinx=

1

3

，故所求t值符合題意
故答案為4