Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，E，F，G，H分別是AB，AC，PC，BC的中點，且PA=PB，AC=BC，求證：（1）AB⊥PC；（2）PE∥平面FGH．

Answer 1

分析：（1）連接CE，根據等腰三角形三線合一的性質，可得AB⊥PE，AB⊥CE，進而由線面垂直的判定定理得到AB⊥面PCE，進而再由線面垂直的性質，得到AB⊥PC．
（2）由于E，F，G，H分別是AB，AC，PC，BC的中點，根據三角形中位線的性質，可得GH∥面PAB，得GF∥面PAB，由面面平行的判定定理，可得面PAB∥面FGH，進而由面面平行的性質，得到PE∥平面FGH．

解答：證明：（1）連接CE，
因為PA=PB，E為AB中點，
所以AB⊥PE，…（2分）
同理，由AC=BC的AB⊥CE，…（3分）
又PE∩CE=E，PE，CE?面PCE，
所以AB⊥面PCE，…（5分）
而PC?面PCE，所以AB⊥PC；   …（7分）
（2）因為G，H分別是PC，BC的中點，所以GH∥PB，GH?面PAB，PB?面PAB，
所以GH∥面PAB，同理由G，F分別是PC，AC的中點，得GF∥面PAB，…（10分）
又FG∩GH=G，FG，GH?面FGH，所以面PAB∥面FGH，…（12分）
而PE?平面PAB，所以PE∥平面FGH．                         …（14分）
（注：本題第二問在證明面面平行時如果用線線平行直接得到要扣3分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定與性質，其中（1）的關鍵是證得AB⊥面PCE，（2）的關鍵是證得面PAB∥面FGH．