Question

【題目】函數f（x）=（cosx﹣sinx）sin（x+）﹣2asinx+b（a＞0）．
（1）若b=1，且對任意 ， 恒有f（x）＞0，求a的取值范圍；
（2）若f（x）的最大值為1，最小值為﹣4，求實數a，b的值．

Answer 1

【答案】解：（1）當b=1時，函數式可化簡如下：
f（x）=（cosx﹣sinx）（cosx+sinx）﹣2asinx+1
=（cos2x﹣sin2x）﹣2asinx+1=﹣sin2x﹣2asinx+，
令t=sinx（0＜t＜），對任意x∈（0，），恒有f（x）＞0，
即為﹣t2﹣2at+＞0，分離參數得：﹣2a＞t﹣，
由t﹣在（0，）遞增，所以，t﹣＜﹣3=﹣，
因此，﹣2a＞﹣，解得，0＜a＜，
即實數a的取值范圍為（0，）；
（2）f（x）=﹣sin2x﹣2asinx+b+，令t=sinx（﹣1≤t≤1），
記g（t）=﹣t2﹣2at+b+，圖象的對稱軸t=﹣a＜0，且開口向下，
①當﹣a≤﹣1時，即a≥1，函數g（t）在[﹣1，1]上單調遞減，則
g（t）max=g（﹣1）=﹣1+2a+b+=1，
g（t）min=g（1）=﹣1﹣2a+b+=﹣4，
解得a=，b=﹣1；
②當﹣1＜﹣a＜1時，即0＜a＜1，函數g（t）在[﹣1，1]上先增后減，則
g（x）max=g（﹣a）=+b+a2=1，
g（x）min=g（1）=﹣1﹣2a+b+=﹣4，
解方程可得a=﹣1，b=2﹣，由于a=﹣1＞1，不合題意，舍去．
綜上可得a=，b=﹣1．
【解析】（1）先化簡函數式，將函數化為sinx的二次型函數，再用分離參數法和單調性求解；
（2）討論二次函數在“動軸定區間”上的最值，再列方程求解．