Question

已知函數．

（I）判斷的奇偶性；

（Ⅱ）設函數在區間上的最小值為，求的表達式；

（Ⅲ）若，證明：方程有兩個不同的正數解．

 

Answer 1

【答案】

（I）既不是奇函數也不是偶函數

（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

【解析】（1）對參數a進行討論，利用奇偶函數的定義，即可得出結論；

（2）當時，，然后轉化為二次函數軸動區間定的最值問題來研究即可.

（3）利用圖像法，把方程根的個數轉化為兩個函數圖像交點的個數來研究.

當，若時，，方程可化為即．

y

令，在同一直角坐標系中作出函數，在時的圖像從圖像確定函數與的圖像在第四象限有兩個不同交點,從而證明方程有兩個不同的正數解.

解：（I）時，是奇函數；……（1分）

時，既不是奇函數也不是偶函數．……（2分）

（II）當時，，函數圖像的對稱軸為直線．（3分）

當，即時，函數在上是增函數，所以；

當，即時，函數在上是減函數，在上是增函數，

所以；……（5分）

當，即時，函數在上是減函數，

所以．……（6分）

綜上， ．……（7分）

（III）證法一：

若，則時，，方程可化為，

即．……（8分）

令，，在同一直角坐標系中作出函數 在時的圖像…（9分）

因為，，所以，即當時

函數圖像上的點在函數圖像點的上方．……（11分）

所以函數與的圖像在第一象限有兩個不同交點．

即方程有兩個不同的正數解．…………（12分）

證法二：

若，則時，，方程可化為，

即．…………（8分）

y

令，在同一直角坐標系中作出函數，在時的圖像．（9分）

因為，，所以，

即當時，函數圖像上的點在函數圖像點的上方．…………（11分）

所以函數與的圖像在第四象限有兩個不同交點．

所以方程有兩個不同的正數解．…………（12分）