Question

函數y=

-x2+4x-3

的定義域為M，函數f（x）=4^x+a•2^x+1+2（x∈M）．
（1）當a=1時，求函數f（x）的值域；
（2）求函數f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）要使函數有定義，被開方數應大于或等于0，解不等式-x²+4x-3≥0 求出M，對函數f（x）=4^x+a•2^x+1+2，利用換元法令t=2^x，轉化為二次函數解決．
（2）f（x）=g（t）=t²+2at+2=（t+a）²+1-a²，開口向上，對稱軸t=-a，分-a≤2，2＜-a＜8，-a≥8三類求解．

解答：解：（1）要使函數有定義，則-x²+4x-3≥0即（x-1）（x-3）≤0，1≤x≤3，（1分）
∴M={x|1≤x≤3}．（2分）
當a=1時，令t=2^x，則2≤t≤8，（3分）
f（x）=g（t）=t²+2t+2=（t+1）²+1開口向上，對稱軸t=-1，（4分）
∴g（t）在t∈[2，8]上單調遞增，
∴g（2）≤g（t）≤g（8）
即10≤g（t）≤82，（6分）
∴函數f（x）的值域為[10，82]．（7分）
（2）由（1）有，令t=2^x（2≤t≤8），
f（x）=g（t）=t²+2at+2=（t+a）²+1-a²開口向上，對稱軸t=-a（8分）
①當-a≤2，即a≥-2時，g（t）在t∈[2，8]上單調遞增，∴g（t）_min=g（2）=6+4a（10分）
②當2＜-a＜8，即-8＜a＜-2時，∴g（t）_min=g（-a）=1-a²（12分）
③當-a≥8，即a≤-8時，g（t）在t∈[2，8]上單調遞減，∴g（t）_min=g（8）=66+16a（14分）

點評：本題考查二次函數的圖象性質，換元法，分類討論．考查轉化、計算能力．換元前后要注意新元的取值范圍．