Question

已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，f（1）=0，當x＞0時，有xf′（x）-f（x）＞0成立，則不等式f（x）＞0的解集是（　　）

• A、（1，+∞）
• B、（-1，0）
• C、（-1，0）∪（1，+∞）
• D、（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,利用導數研究函數的單調性

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：由函數f（x）是定義在R上的奇函數，f（1）=0，則f（-1）=f（0）=f（1）=0，則可以將定義域R分為（-∞，-1），（-1，0），（0，1），（1，+∞）四個區間結合單調性進行討論，可得答案．

解答： 解：若f（x）在（-∞，-1）上為減函數，
則f（x）＞0，f'（x）＜0
則xf′（x）-f（x）＞0不成立
若f（x）在（-∞，-1）上為增函數，
則f（x）＜0，f'（x）＞0
則xf′（x）-f（x）＞0成立
故：f（x）在（-∞，-1）上時，則f（x）＜0
若f（x）在（-1，0）上為增函數，
則f（x）＜0，f'（x）＞0
則xf′（x）-f（x）＞0不成立
若f（x）在（-∞，-1）上為減函數，
則f（x）＞0，f'（x）＜0
則xf′（x）-f（x）＞0成立
故：f（x）在（-1，0）上時，則f（x）＞0
又∵奇函數的圖象關于原點對稱，
則f（x）在（0，1）上時，則f（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上時，則f（x）＞0
綜合所述，不等式f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）
故選：C

點評：解答本題的關鍵是根據已知條件，結合奇函數的性質，找出函數的零點，并以零點為端點將定義域分為幾個不同的區間，然后在每個區間上結合函數的單調性進行討論，這是分類討論思想在解決問題的巨大作用的最好體現，分類討論思想往往能將一個復雜的問題的簡單化，是高中階段必須要掌握的一種方法．