Question

已知函數f（x）=x²+2xtanθ-1，θ∈（-

π

2

，

π

2

）．
（Ⅰ）若f（x）在x∈[-1，

3

]上為單調函數，求θ的取值范圍；
（Ⅱ）若當θ∈[-

π

3

，

π

3

]時，y=f（x）在[-1，

3

]上的最小值為g（θ），求g（θ）的表達式．

Answer 1

考點：函數單調性的性質,函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）f（x）為二次函數，所以求出對稱軸為x=-tanθ，所以可得到-tanθ≤-1，或-tanθ≥

3

，再根據已知的θ∈(-

π

2

，

π

2

)求出θ的取值范圍即可；
（Ⅱ）由θ∈[-

π

3

，

π

3

]可求出-tanθ∈[-

3

，

3

]，所以討論-

3

≤-tanθ≤-1，及-1＜-tanθ≤

3

，根據二次函數的單調性及取得頂點的情況即可求出y=f（x）在[-1，

3

]上的最小值g（θ）．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的對稱軸為x=-tanθ；
∴由f（x）在[-1，

3

]上為單調函數得：
-tanθ≤-1，或-tanθ≥

3

；
即tanθ≥1，或tanθ≤-

3

；
又θ∈(-

π

2

，

π

2

)；
∴θ∈[

π

4

，

π

2

)，或θ∈(-

π

2

，-

π

3

]；
∴θ的取值范圍為(-

π

2

，-

π

3

]∪[

π

4

，

π

2

)；
（Ⅱ）θ∈[-

π

3

，

π

3

]時，-tanθ∈[-

3

，

3

]；
∴①當-

3

≤-tanθ≤-1，即

π

4

≤θ≤

π

3

時，f（x）在[-1，

3

]上單調遞增；
∴g（θ）=f（-1）=-2tanθ；
②當-1＜-tanθ≤

3

，即-

π

3

≤θ＜

π

4

時，g（θ）=f（-tanθ）=-tan²θ-1；
∴g(θ)=

-tan2θ-1 - π 3 ≤θ＜ π 4 -2tanθ π 4 ≤θ≤ π 3

．

點評：考查二次函數的對稱軸，二次函數的單調性，以及正切函數的圖象，根據二次函數的單調性及取得頂點的情況求最值．