Question

（12分）已知{a_n}是一個公差大于0的等差數列，且滿足a₃a₆＝55，a₂＋a₇＝16。
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{a_n}和數列{b_n}滿足等式：a_n＝＋＋＋……＋，（nN₊），
求數列{b_n}的前n項和S_n。

Answer 1

（1）a_n＝a₃＋(n－3)d＝2n－1；（2）當n＝1時，S₁＝b₁＝2
當n≥2時，S_n＝b₁＋b₂＋b₃＋……＋b_n＝2＋＝2^n＋2－6

求一個數列的前n項和應該先求出數列的通項，利用通項的特點，然后選擇合適的求和的方法．
（1）將已知條件a₃a₆=55，a₂+a₇=16，利用等差數列的通項公式用首項與公差表示，列出方程組，求出首項與公差，進一步求出數列{an}的通項公式
（2）將已知等式仿寫出一個新等式，兩個式子相減求出數列{bn}的通項，利用等比數列的前n項和公式求出數列{b_n}的前n項和Sn．
解：（1）由等差數列的性質得：a₂＋a₇＝a₃＋a₆
∴，解得：或
∵{a_n}的公差大于0  ∴{a_n}單增數列
∴a₃＝5，a₆＝11     ∴公差d＝＝＝2
∴a_n＝a₃＋(n－3)d＝2n－1
（2）當n＝1時，a₁＝   ∴b₁＝2
當n≥2時，a_n＝＋＋＋…＋
a_n－1＝＋＋＋…＋
兩式相減得：a_n－a _n－1＝
∴b_n＝2^n＋1，n≥2

∴當n＝1時，S₁＝b₁＝2
當n≥2時，S_n＝b₁＋b₂＋b₃＋……＋b_n
＝2＋＝2^n＋2－6