Question

（2012•遼寧）設f（x）=ln（x+1）+

x+1

+ax+b（a，b∈R，a，b為常數），曲線y=f（x）與直線y=

3

2

x在（0，0）點相切．
（I）求a，b的值；
（II）證明：當0＜x＜2時，f（x）＜

9x

x+6

．

Answer 1

分析：（I）由y=f（x）過（0，0），可求b的值，根據曲線y=f（x）與直線y=

3

2

x在（0，0）點相切，利用導函數，可求a的值；
（II）由（I）知f（x）=ln（x+1）+

x+1

-1，由均值不等式，可得

x+1

＜

x

2

+1，構造函數k（x）=ln（x+1）-x，可得ln（x+1）＜x，從而當x＞0時，f（x）＜

3

2

x，記h（x）=（x+6）f（x）-9x，可證h（x）在（0，2）內單調遞減，從而h（x）＜0，故問題得證．

解答：（I）解：由y=f（x）過（0，0），∴f（0）=0，∴b=-1
∵曲線y=f（x）與直線y=

3

2

x在（0，0）點相切．
∴y′|_x=0=(

1

x+1

+

1

2 x+1

+a)

|

x=0

=

3

2

+a=

3

2

∴a=0；
（II）證明：由（I）知f（x）=ln（x+1）+

x+1

-1
由均值不等式，當x＞0時，2

(x+1)•1

＜x+1+1=x+2，∴

x+1

＜

x

2

+1①
令k（x）=ln（x+1）-x，則k（0）=0，k′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

＜0，∴k（x）＜0
∴ln（x+1）＜x，②
由①②得，當x＞0時，f（x）＜

3

2

x
記h（x）=（x+6）f（x）-9x，則當0＜x＜2時，h′（x）=f（x）+（x+6）f′（x）-9
＜

3

2

x+(x+6)(

1

x+1

+

1

2 x+1

)-9＜

1

2(x+1)

[3x(x+1)+(x+6)(3+

x

2

)-18(x+1)]
=

x

4(x+1)

(7x-18)＜0
∴h（x）在（0，2）內單調遞減，又h（0）=0，∴h（x）＜0
∴當0＜x＜2時，f（x）＜

9x

x+6

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查構造法的運用，考查不等式的證明，正確構造函數是解題的關鍵．