Question

（2012•遼寧）設f(x)=lnx+

x

-1，證明：
（Ⅰ）當x＞1時，f（x）＜

3

2

（ x-1）；
（Ⅱ）當1＜x＜3時，f(x)＜

9(x-1)

x+5

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證法一，記g（x）=lnx+

x

-1-

3

2

（x-1），可得到g′（x）=

1

x

+

1

2 x

-

3

2

＜0，從而g（x）為減函數，又g（1）=0，當x＞1時，g（x）＜g（1），問題解決；
證法二，利用均值不等式，可證得，當x＞1時，

x

＜

x

2

+

1

2

．①，令k（x）=lnx-x+1，同理可證k（x）為減函數，于是有lnx＜x-1②，由①②可證得結論；
（Ⅱ）記h（x）=f（x）-

9(x-1)

x+5

，可求得h′（x）=

2+ x

2x

-

54

(x+5)2

＜

(x+5)3-216x

4x(x+5)2

＜0（1＜x＜3），從而h（x）在（1，3）內是遞減函數，又由h（1）=0，得h（x）＜0，從而證得結論；

解答：證明：（Ⅰ）（證法一）：
記g（x）=lnx+

x

-1-

3

2

（x-1），則當x＞1時，g′（x）=

1

x

+

1

2 x

-

3

2

＜0，
又g（1）=0，有g（x）＜0，即f（x）＜

3

2

（ x-1）；…4′
（證法二）由均值不等式，當x＞1時，2

x

＜x+1，故

x

＜

x

2

+

1

2

．①
令k（x）=lnx-x+1，則k（1）=0，k′（x）=

1

x

-1＜0，故k（x）＜0，即lnx＜x-1②
由①②得當x＞1時，f（x）＜

3

2

（ x-1）；
（Ⅱ）記h（x）=f（x）-

9(x-1)

x+5

，由（Ⅰ）得，
h′（x）=

1

x

+

1

2 x

-

54

(x+5)2

=

2+ x

2x

-

54

(x+5)2

＜

x+5

4x

-

54

(x+5)2

=

(x+5)3-216x

4x(x+5)2

，
令g（x）=（x+5）³-216x，則當1＜x＜3時，g′（x）=3（x+5）²-216＜0，
∴g（x）在（1，3）內是遞減函數，又由g（1）=0，得g（x）＜0，
∴h′（x）＜0，…10′
因此，h（x）在（1，3）內是遞減函數，又由h（1）=0，得h（x）＜0，
于是，當1＜x＜3時，f（x）＜

9(x-1)

x+5

…12′

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數的最值，著重考查構造函數的思想，考查分析、轉化與綜合計算與應用解決問題的能力，屬于難題．