Question

如圖，過圓O外一點P作該圓的兩條割線PAB和PCD，分別交圓O于點A，B，C，D，弦AD和BC交于點Q，割線PEF經過點Q交圓O于點E，F，點M在EF上，且∠BAD＝∠BMF.

(1)求證：PA·PB＝PM·PQ；
(2)求證：∠BMD＝∠BOD.

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

(1)∵∠BAD＝∠BMF，
∴A，Q，M，B四點共圓，
∴PA·PB＝PM·PQ.
(2)∵PA·PB＝PC·PD，
∴PC·PD＝PM·PQ，
又∠CPQ＝∠MPD，
∴△CPQ∽△MPD，
∴∠PCQ＝∠PMD，則∠DCB＝∠FMD，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BMD＝∠BMF＋∠DMF＝2∠BAD，
又∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BMD＝∠BOD.