Question

（1）在銳角△ABC中，BC=1，B=2A求

AC

cosA

的值及AC的取值范圍；
（2）在△ABC中，已知1+cos²A=cos²B+cos²C，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理列出關系式，將已知BC與B=2A代入，利用二倍角的正弦函數公式化簡即可

AC

cosA

的值；得出的值表示出AC，利用余弦函數的值域即可確定出AC的范圍；
（2）所求式子利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后再利用和差化積公式計算，求出A的度數，即可做出判斷．

解答：解：（1）∵B=2A，
∴sinB=sin2A=2sinAcosA，且b=2a，
∴cosA=

sinB

2sinA

=

b

2a

，
∴

AC

cosA

=

b

sinB 2sinA

=

2b

b a

=2a=2BC=2，
∴AC=2cosA，
∵0＜B=2A＜90°，
∴0＜A＜45°，
∵0＜C=180°-A-B=180°-3A＜90°，
∴30°＜A＜45°，
∴

1

2

＜cosA＜

2

2

，即1＜2cosA＜

2

，
則AC范圍為（1，

2

）；
（2）將1+cos²A=cos²B+cos²C，化簡得：1+

1+cos2A

2

=

1+cos2B

2

+

1+cos2C

2

，
整理得：1+cos2A=cos2B+cos2C，即2cos²A=2cos（B+C）cos（B-C），即2cos²A=-2cosAcos（B-C），
∴cosA=0或-cos（B-C）=cosA，
∴A=90°或A-B+C=180°（A-B+C=180°顯然不可能，舍去），
則三角形為直角三角形．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形形狀的判斷，熟練掌握定理是解本題的關鍵．