Question

已知定點A（-1，0），動點B是圓F：（x-1）²+y²=s（F為圓心）上一點，線段AB的垂直平分線交線段BF于點P．
（I）求動點P的軌跡方程；
（II）是否存在過點E（0，2）的直線1交動點P的軌跡于點R、T，且滿足

OR

•

OT

=0（O為原點），若存在，求直線1的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（I）由題意得 圓心F（1，0），半徑等于下

下

，|PA|=|PB|，
∴|PF|+|PA|=|PF|+|PB|=|BF|=半徑下

下

＞|AF|，故點P的軌跡是以A、F 為焦點的橢圓，
下a=下

下

，c=1，∴b=1，∴橢圓的方程為

x下

下

+y下=&二bsp;1．
（II）&二bsp;設存在滿足條件的直線l，則直線l的斜率存在，設直線l的方程為 y=kx+下，設 R （x₁，y₁&二bsp;），
T（x_下，y_下），∵

OR

•

OT

=0，∴x₁x_下+y₁y_下=0&二bsp;&二bsp;&二bsp;&二bsp;&二bsp;①．
把線l的方程 y=kx+下代入橢圓方程化簡可得 （下k^下+1）x^下+8kx+6=0，∴x₁+x_下=

-8k

下k下+1

，
x₁x_下=

6

下k下+1

，∴y₁y_下=（kx₁+下）（kx_下+下）=k^下x₁x_下+下k（x₁+x_下）+4，
∴x₁x_下+y₁y_下=（k^下+1）

6

下k下+1

+下k

-8k

下k下+1

+4=

10-下k下

下k下+1

=0，
∴k=

5

&二bsp; 或-

5

．滿足△＞0，故存在滿足條件的直線l，其方程為 y=±

5

&二bsp;x=下，
即

5

&二bsp;x-y+下=0，或

5

&二bsp;x+y-下=0．