Question

已知定點A（1，0），定直線l：x=5，動點M（x，y）
（Ⅰ）若M到點A的距離與M到直線l的距離之比為

5

5

，試求M的軌跡曲線C₁的方程．
（Ⅱ）若曲線C₂是以C₁的焦點為頂點，且以C₁的頂點為焦點，試求曲線C₂的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設d是點M到直線l：x=5的距離，由題意得：

(x-1)2+y2

|5-x|

=

5

5

，由此能求出M的軌跡曲線C₁的方程．
（Ⅱ）由題意可知曲線C₂是雙曲線，設方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1因為橢圓

x2

5

+

y2

4

=1的頂點是（(±

5

，0)，焦點是（±1，0）所以雙曲線的頂點是（±1，0），焦點是(±

5

，0)，由此能求出曲線C₂的方程．

解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）設d是點M到直線l：x=5的距離，由題意得：

(x-1)2+y2

|5-x|

=

5

5

將上式兩邊平方，并化簡，得

4

5

x2+y2=4
即M的軌跡曲線C₁的方程是橢圓：

x2

5

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）由題意可知曲線C₂是雙曲線，設方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1
因為橢圓

x2

5

+

y2

4

=1的頂點是（(±

5

，0)，焦點是（±1，0）
所以雙曲線的頂點是（±1，0），焦點是(±

5

，0)
于是a=1，c=

5

所以 b²=c²-a²=5-1=4
所以曲線C₂的方程是x2-

y2

4

=1

點評：本題考查曲線方程的求法，具體涉及到橢圓和雙曲線的簡單性質，點到直線的距離公式，直線和圓錐曲線的位置關系．解題時要認真審題，仔細解答．