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【題目】設(shè)橢圓，定義橢圓的“伴隨圓”方程為；若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓C的一個短軸端點(diǎn)重合，且橢圓C的離心率為．

（1）求橢圓C的方程和“伴隨圓”E的方程；

（2）過“伴隨圓”E上任意一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，延長PA與“伴隨圓”E交于點(diǎn)Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(i)證明：PA⊥PB；

(ii)若直線OP，OQ的斜率存在，設(shè)其分別為，試判斷是否為定值，若是，求出該值；若不是，請說明理由．

【答案】（1）（2）(i)見解析，(ii)

【解析】試題分析：（1）先求拋物線焦點(diǎn)得，再由離心率求，最后寫出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及“伴隨圓”方程（2）(i)聯(lián)立切線方程與橢圓方程，利用判別式為零得，根據(jù)點(diǎn)P在“伴隨圓”上得關(guān)于k的一元二次方程，利用韋達(dá)定理得，即得結(jié)論，(ii) 由切線方程與圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理得，再根據(jù)斜率公式化簡得定值

試題解析：（1）由題意得

（2）(i)設(shè) ，切線方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，由得

把代入得，因此

當(dāng)切線斜率不存在或等于零時，結(jié)論也成立

(ii)由切線方程與圓方程聯(lián)立得，

所以，當(dāng)切線斜率不存在時，結(jié)論也成立

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【題目】已知函數(shù)fn（x）= x3﹣ （n+1）x2+x（n∈N*），數(shù)列{an}滿足an+1=f'n（an），a1=3．
（1）求a2 ， a3 ， a4；
（2）根據(jù)（1）猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（3）求證： + +…+ ＜．

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【題目】已知曲線C的參數(shù)方程是（α為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），
（1）求曲線C與直線l的普通方程；
（2）若直線l與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|= ，求實(shí)數(shù)m的值．

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【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x2﹣2tx+2，其中 t∈R．
（1）若t=1，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上的取值范圍；
（2）若t=1，且對任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若對任意的x1 ， x2∈[0，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤8，求t的取值范圍．

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【題目】定義：分子為1且分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)叫做單位分?jǐn)?shù)，我們可以把1拆分成多個不同的單位分?jǐn)?shù)之和．例如：1= + + ，1= + + + ，1= + + + + ，…，依此拆分法可得1= + + + + + + + + + + + + + ，其中m，n∈N* ，則m﹣n=（）
A.﹣2
B.﹣4
C.﹣6
D.﹣8

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【題目】已知 a∈R，函數(shù) f（x）=a﹣ ．
（1）證明：f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求：
①a的值；
②f（x）的值域．

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【題目】集合A= ，若BA求m的取值范圍．

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【題目】已知點(diǎn)P（﹣1，4）及圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．則下列判斷正確的序號為．
①點(diǎn)P在圓C內(nèi)部；
②過點(diǎn)P做直線l，若l將圓C平分，則l的方程為x+3y﹣11=0；
③過點(diǎn)P做直線l與圓C相切，則l的方程為y﹣4=0或3x+4y﹣13=0；
④一束光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C上的最短路程為．