Question

（1）已知實數集A={x|a₁x=b₁，a₁b₁≠0}，B={x|a₂x=b₂，a₂b₂≠0}，證明：A=B的充要條件是

a1

a2

=

b1

b2

；
（2）已知實數集A={x|a₁x²+b₁x+c₁=0，a₁b₁c₁≠0}，B=x|a₂x²+b₂x+c₂=0，a₂b₂c₂≠0}，問

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

是A=B的什么條件？請給出說明過程；
（3）已知實數集A={x|a₁x²+b₁x+c₁＞0，a₁b₁c₁≠0}，B=x|a₂x²+b₂x+c₂＞0，a₂b₂c₂≠0}，，問

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

是A=B的什么條件？請給出說明過程．

Answer 1

分析：（1）分別化簡A和B兩個集合，找出A=B 的等價條件，即得要證結論．
（2））“

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

”是“A=B”的充分不必要條件，利用比例式的性質證明充分性成立，通過舉反例可得必要性
不成立．
（3）通過給變量取特殊值，舉反例可得充分性和必要性都不成立，從而得到“

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

”是“A=B”的既不充分
也不必要條件．

解答：解：（1）因為 A={x|x=

b1

a1

}，B={x|x=

b2

a2

}，故A=B?

b1

a1

=

b2

a2

?

a1

a2

=

b1

b2

，
故命題成立．…..（4分）
（2）“

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

”是“A=B”的充分不必要條件．        …..（6分）
證明：充分性：
若x₀∈A，即x₀是方程a₁x²+b₁x+c₁=0的解，則a₁x₀²+b₁x₀+c₁=0，
而非零實數a₁，b₁，c₁和a₂，b₂，c₂滿足

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

，
設

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

=k≠0，則可得k（a₂x₀²+b₂x₀+c₂）=0，
所以a₂x₀²+b₂x₀+c₂=0，即x₀是方程a₂x²+b₂x+c₂=0的解，即x₀∈B，
于是A⊆B．同理可證B⊆A，所以A=B．                 …..（10分）
必要性不成立，例如：當A=B=? 時，不能推出

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

成立．…..（11分）
（3）如果系數a₁，b₁，c₁和a₂，b₂，c₂都是非零實數，不等式a₁x²+b₁x+c₁＞0和a₂x²+b₂x+c₂＞0的解集分別是A和B，
則“

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

”是“A=B”的既不充分也不必要條件．       
如  a₁ =1，b₁=2，c₁=-3，a₂=-2，b₂，=-4，c₂=6 時，
A={x|a₁x²+b₁x+c₁＞0，a₁b₁c₁≠0}={x|x²+2x-3＞0}={x|x＜-3，或 x＞1 }，
B=x|a₂x²+b₂x+c₂＞0，a₂b₂c₂≠0}={x|-2x²-4x+6＞0}={x|x²+2x-3＜0}={x|-3＜x＜1}，
顯然，A≠B．故成分性不成立．  …..（14分）
當A=B 時，a₁ =1，b₁=2，c₁=3，a₂=1，b₂，=-4，c₂=6 時，
A={x|x²+2x+3＞0}={x|x∈R}=R，B=x|x² -4x+6＞0}={x|x∈R}=R，
顯然不滿足

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

，故必要性也不成立． …..（16分）

點評：本題主要考查充分條件、必要條件、充要條件的定義，通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．