Question

（1）已知實數集A={x|a₁x=b₁，a₁b₁≠0}，B={x|a₂x=b₂，a₂b₂≠0}，證明：A=B的充要條件是；
（2）已知實數集A={x|a₁x²+b₁x+c₁=0，a₁b₁c₁≠0}，B={x|a₂x²+b₂x+c₂=0，a₂b₂c₂≠0}，問是A=B的什么條件？請給出說明過程；

Answer 1

解：（1）∵，，
∴；（4分）
∴A=B的充要條件是；
（2）“”是“A=B”的充分不必要條件．（6分）
證明：充分性：
若x₀∈A，即x₀是方程a₁x²+b₁x+c₁=0的解，則a₁x₀²+b₁x₀+c₁=0，
而非零實數a₁，b₁，c₁和a₂，b₂，c₂滿足，
設，則可得k（a₂x₀²+b₂x₀+c₂）=0，
所以a₂x₀²+b₂x₀+c₂=0，即x₀是方程a₂x²+b₂x+c₂=0的解，即x₀∈B，
于是A⊆B．同理可證B⊆A，所以A=B（10分）
必要性不成立，反例：如A=B=?．（12分）
分析：（1）根據實數集A={x|a₁x=b₁，a₁b₁≠0}，B={x|a₂x=b₂，a₂b₂≠0}，根據等式的性質，易將A=B等價變形，易得A=B?，即A=B的充要條件是；
（2）可以先假定，然后判斷A=B是否成立，然后再假設A=B成立，然后分A與B是否為空集兩種情況進行分類討論，即可得到結論．
點評：本題考查的知識點是必要條件、充分條件與充要條件的判斷，集合的相等，充要條件，根據等式的性質，結合集合相等的定義，對集合相等進行等價轉化，是解答本題的關鍵．