Question

（本題滿分14分）

    已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，左右焦點分別為F₁，F₂；且

    點在橢圓C上．

    (1)求橢圓C的方程；

    (2)過F₁的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，且△AF₂B的面積為，求以F₂為圓

       心且與直線l相切的圓的方程．

 

 

Answer 1

【答案】

解：(1)設橢圓的方程為，由題意可得：

    橢圓C兩焦點坐標分別為F₁(-1,0），F₂(1,0)．  ………………2分

   

    ,又c=1, b²=4-l=3,

     故橢圓的方程為．…………4分

(2)當直線l⊥x軸，計算得到：

，不符合題意，…………………6分

當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為：y=k(x+1)，

由，消去y得

顯然△>O成立，設

則   ………………8分

又

即 '  …………………………………………10分

又圓F₂的半徑     ……………………………11分

所以

化簡，得，即，解得k=±1，……l3分

所以，，故圓F₂的方程為：(x-1)²+y²=2．……………l4分

(2)另解：設直線l的方程為x=ty-1，

由，消去x得，△>O恒成立，

設,則

所以

又圓F₂的半徑為

所以，解得t²=1，

所以．故圓F₂的方程為：

 

【解析】略