Question

f(x)=(1+x)+(1+x)²+(1+x)³+…+(1+x)¹⁰.

(1)求f(x)展開式中x³的系數；

(2)求f(x)展開式中各項系數之和.

Answer 1

(1)解析一:展開式中x³的系數為N=+++…+.

由+=,即得=-.

所以N= (-)+(-)+…+(-)=,或者N=+++…+=++…+=++…+=…=+==330.

解析二:因(1+x)+(1+x)²+…+(1+x)¹⁰=［(1+x)¹¹-(1+x)］,

所以所求的x³的系數即(1+x)¹¹展開式中x⁴的系數，它的值為330.

(2)解析：令f(x)=(1+x)+(1+x)²+(1+x)³+…+(1+x)¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰,

則f(1)=a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=2+2²+2³+…+2¹⁰==2¹¹-2=2 046.

所以展開式各項系數之和為2 046.