Question

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）求的極值；

（Ⅱ）當(dāng)時，設(shè)，求證：曲線存在兩條斜率為且不重合的切線.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）極小值；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）對a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值. （Ⅱ）先把問題轉(zhuǎn)化為曲線在點(diǎn)，處的切線不重合，再利用反證法證明.

詳解：（Ⅰ） ，

令，得．

①當(dāng)時，與符號相同，

當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：

	↘	極小	↗

②當(dāng)時，與符號相反，

當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：

	↘	極小	↗

綜上，在處取得極小值.

（Ⅱ） ，

故 ．

注意到，，，

所以，，，使得．

因此，曲線在點(diǎn)，處的切線斜率均為.

下面，只需證明曲線在點(diǎn)，處的切線不重合.

曲線在點(diǎn)（）處的切線方程為，即．假設(shè)曲線在點(diǎn)（）處的切線重合，則．

令，則，且.

由（Ⅰ）知，當(dāng)時，，故．

所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，于是有矛盾.

因此，曲線在點(diǎn)()處的切線不重合．