Question

已知中心在原點(diǎn)的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，又過點(diǎn)，且離心率滿足，，成等比數(shù)列.

（1）求橢圓的方程；

（2）試問是否存在直線，使與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線段恰被直線平分？若存在，求出的傾斜角的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

 解：（1）∵成等比數(shù)列　∴　

設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，依橢圓的定義得

 即為所求橢圓方程。…………5分

（2）假設(shè)存在，因與直線相交，不可能垂直軸

因此可設(shè)的方程為：由

　 ①

方程①有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根

∴　②…………………………7分

設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為　∴

∵線段恰被直線平分　∴

∵　∴ ③　把③代入②得

∵　 ∴　∴解得或

∴直線的傾斜角范圍為 ……………………………………15分