Question

設函數f（x）=x（

1

2

）^x+

1

x+1

，A₀為坐標原點，A為函數y=f（x）圖象上橫坐標為n（n∈N^*）  的點，向量

an

=

n

k=1

Ak-1Ak

，向量

i

=（1，0），設θn為向量

an

與向量

i

的夾角，滿足

n

k=1

tanθ_k＜

5

3

的最大整數n是（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：由題意知A_n=（n，f（n）），

an

=

A0An

，則θ_n為直線A₀A_n的傾斜角，所以tanθ_n=

f(n)

n

=(

1

2

)n+

1

n(n+1)

，由此能求出滿足

n

k=1

tanθ_k＜

5

3

的最大整數n．

解答：解：由題意知A_n=（n，f（n）），

an

=

A0An

，則θ_n為直線A₀A_n的傾斜角，
所以tanθ_n=

f(n)

n

=(

1

2

)n+

1

n(n+1)

，
所以tanθ₁=1，θ₁=

π

4

，
tanθ₂=

5

12

，tanθ₃=

5

24

，tanθ₄=

9

80

，
則有 1+

5

12

+

5

24

=

13

8

＜

5

3

＜

139

80

=

13

8

+

9

80

，
故滿足要求的最大整數n是3．
故選B．

點評：本題考查函數、數列與向量的綜合應用，考查向量的夾角公式的運算及正切函數的定義．