Question

設橢圓+=1，a＞b＞0的左焦點為F₁，上頂點為A，過點A與AF₁垂直的直線分別交橢圓和x軸正半軸于P、Q兩點，且P分向量所成的比為λ．
（1）當λ∈（1，2）時，探求橢圓離心率（-e）²的取值范圍；
（2）當λ=時，過A、Q、F₁三點的圓恰好與直線L：x+y+3=0相切，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據P分向量所成的比為λ，可得點P的坐標，代入橢圓方程，再利用•=0，聯立可表示出（-e）²，進而根據λ∈（1，2），可探求橢圓離心率（-e）²的取值范圍；
（2）當λ=時，e-=-，故e=，a=2c．利用圓恰好與直線L：x+y+3=0相切，可求a=2，b=，從而得到橢圓方程
解答：解：（1）設Q（x，0），F₁（-c，0），A（0，b），
∵P分向量所成的比為λ，
∴P（，），∴（）²+（）²=1．        ①
而=（c，b），=（x，-b），•=0，
∴cx-b²=0．   ②
由①、②消去x，得（）²+（）²=1，
即λ²=（1+λ）²-1，即（-e）²=1+∈（2，3）．   
（2）當λ=時，e-=-，
∴e=，a=2c．
又∵△AF₁Q是直角三角形，其外接圓圓心是斜邊中點，
∴圓心為（，0）=（，0）=（c，0），
半徑為r===a．
由圓恰好與直線L：x+y+3=0相切，得=a，
∴a=2，b=．
∴橢圓方程為+=1．
點評：本題以橢圓為載體，考查橢圓的幾何性質，考查直線與圓的位置關系，考查了橢圓的標準方程，有一定的綜合性．