Question

 已知函數，若函數的圖象上任意一點P關于原點的對稱點Q的軌跡恰好是函數的圖象：

（1）寫出的解析式  

（2）記，討論的單調性 

（3）若時，總有成立，求實數的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）y=g(x)=-loga(-x+1)=-loga(1-x)；    （2）m≤0

【解析】本試題主要是考查了運用對稱性求解函數的解析式，以及函數的單調性和最值問題。

（1）設所求函數上任意一點，然后利用對稱性證明對稱后的點在原來的函數圖像上，得到解析式。

（2）因為當x∈[0.1]時，  f(x)+g(x)=loga(x+1)-loga(1-x) =loga[（1+x）/(1-x)]

則利用復合函數單調性得到求解。

（3）時，總有成立，則求解函數的最小值即可得到參數m的范圍。

（1）設P（x,y)是函數y=g(x)圖象上的任意一點

   則P關于原點的對稱點Q的坐標為（-x,-y)

   ∵已知點Q在函數f(x)的圖像上

   ∴ -y=f(-x)，而f(x)=loga(x+1)

   ∴ -y=loga(-x+1)

   ∴y=-loga(-x+1)

   而P（x,y)是函數y=g(x)圖象上的點

   ∴y=g(x)=-loga(-x+1)=-loga(1-x)

    （2）當x∈[0.1]時，

    f(x)+g(x)=loga(x+1)-loga(1-x)

            =loga[（1+x）/(1-x)]

  下面求當x∈[0.1]時，f(x)+g(x)的最小值

   令（1+x）/(1-x)=t,求得x= (t-1)/(t+1)

   ∵x∈[0.1]

 ∴ 0≤x≤1

  即0≤(t-1)/(t+1)≤1，解得t≥1

  ∴ （1+x）/(1-x)≥1，又a>1

  ∴ loga[（1+x）/(1-x)])≥loga1=0

 ∴ f(x)+g(x)≥0

 ∴ 當x∈[0.1]時，f(x)+g(x)的最小值為0

 ∵ 當x∈[0.1]時，總有f(x)+g(x)≥m成立

 ∴ m≤0

 ∴所求m的取值范圍：m≤0