Question

AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，C是圓周上任一點，設∠BAC=θ，PA=AB=2r，求異面直線PB和AC的距離．

Answer 1

分析：異面直線PB和AC的距離可看成求直線PB上任意一點到AC的距離的最小值，從而設定變量，建立目標函數而求函數最小值．

解答：解：在PB上任取一點M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，

設MH=x，則MH⊥平面ABC，AC⊥HD．
∴MD²=x²+[（2r-x）sinθ]²=（sin²+1）x²-4rsin²θx+4r²sin²θ=（sin²θ+1）[x-

2rsin2θ

1+sin2θ

]²+

4r2sin2θ

1+sin2θ

即當x=

2rsin2θ

1+sin2θ

時，MD取最小值

2rsinθ

1+sin2θ

為兩異面直線的距離．
由A、B、C成等差數列，可得B=60°；
由△ABC中tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，得
tanA+tanC=tanB（tanA•tanC-1）=

3

（1+

3

）
設tanA、tanC是方程x²-（

3

+3）x+2+

3

=0的兩根，解得x₁=1，x₂=2+

3

設A＜C，則tanA=1，tanC=2+

3

，∴A=

π

4

，C=

5π

12

由此容易得到a=8，b=4

6

，c=4

3

+4．

點評：本題主要考查了點線面間的距離計算，函數思想的應用．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．