Question

21.在數(shù)列中，，其中.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（Ⅲ）證明存在，使得對(duì)任意均成立.

Answer 1

（Ⅰ）解法一：，

，

.

由此可猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明.

（1）當(dāng)時(shí)，，等式成立.

（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，

那么

.

這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)等式也成立.根據(jù)（1）和（2）可知，等式對(duì)任何都成立.

解法二：由，，

可得，

所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為0，故，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

（Ⅱ）解：設(shè)，　　　①

　　　　　　　　   ②

當(dāng)時(shí)，①式減去②式，

得，

.

這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和.

當(dāng)時(shí)，.這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和.

（Ⅲ）證明：通過(guò)分析，推測(cè)數(shù)列的第一項(xiàng)最大，下面證明：

.　　　　③

由知，要使③式成立，只要，

因?yàn)?SUB>

.

所以③式成立.

因此，存在，使得對(duì)任意均成立.