Question

如圖，在直角三角形ABC中，，D為BC的中點，，，以A、B為焦點的橢圓經過點C。

（I）建立適當的直角坐標系，求橢圓的方程；

（II）是否存在不平行于AB的直線l與（I）中橢圓交于不同兩點M、N，使？若存在，求出直線l斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（I）以AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，則

。

設橢圓方程為，，于是解得，

所求橢圓方程為。  

（II）條件等價于

若存在符合條件的直線，該直線的斜率一定存在，否則與點D（0，）不在x軸上矛盾。

可設直線l：

由   得

由得。 

設的中點為Q，

則。

，即。

解得：          

（將點的坐標代入亦可得到此結果）

由，得

存在滿足條件的直線，其斜率的取值范圍是。