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精英家教網如圖，在直角三角形ABC中，斜邊AB=4．設角A=θ，△ABC的面積為S
（1）試用θ表示S，并求S的最大值；
（2）計算
AB
•
AC
+
BC
•
BA
的值．
分析：（1）先在直角三角形ABC中，求出|AC|=4cosθ，再代入三角形的面積計算公式即可用θ表示出S，最后結合三角函數求最值的方法可求S的最大值；
（2）直接利用
BC
=-
CB
以及
BA
=-
AB
把原問題轉化，再結合向量的加法公式即可求出結論．
解答：解：（1）因為在直角三角形ABC中，斜邊AB=4．角A=θ．
所以有：|AC|=4cosθ，
故S=
1
2
|AB|•|AC|•sinθ
=
1
2
×4×4cosθ•sinθ
=8sinθ•coθ
=4sin2θ．
當2θ=
π
2
即θ=
π
4
時，
△ABC的面積S有最大值4．
（2）∵
AB
•
AC
+
BC
•
BA

=
AB
•
AC
+
CB
•
AB

=
AB
•（
AC
+
CB
）
=
AB
2=42=16．
∴
AB
•
AC
+
BC
•
BA
的值為16．
點評：本題主要考查三角函數在實際生活中的運用以及向量知識的應用．解決第二問的關鍵在于利用
BC
=-
CB
以及
BA
=-
AB
把原問題轉化，從而用已知條件AB=4求出結論．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D為BC的中點，|AB|=2
3
，|AC|=
1
2
，以A、B為焦點的橢圓經過點C．
（I）建立適當的直角坐標系，求橢圓的方程；
（II）是否存在不平行于AB的直線l與（I）中橢圓交于不同兩點M、N，使(
DM
+
DN
)•
MN
=0？若存在，求出直線l斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖：在直角三角形ABC中，已知AB=a，∠ACB=30°，∠B=90°，D為AC的中點，E為BD的中點，AE的延長線交BC于F，將△ABD沿BD折起，二面角A′-BD-C的大小記為θ．

（1）求證：平面A′EF⊥平面BCD；
（2）當A′B⊥CD時，求sinθ的值；
（3）在（2）的條件下，求點C到平面A′BD的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•貴州模擬）如圖，在直角三角形ABC的斜邊AB上有一點P，它到這個三角形兩條直角邊的距離分別為4和3，則△ABC面積的最小值是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D為BC的中點，數學公式，數學公式，以A、B為焦點的橢圓經過點C．
（I）建立適當的直角坐標系，求橢圓的方程；
（II）是否存在不平行于AB的直線l與（I）中橢圓交于不同兩點M、N，使數學公式？若存在，求出直線l斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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