Question

設(shè)函數(shù)f(x)=lg(

2

x+1

-1)的定義域為集合A，函數(shù)g(x)=

1-a2-2ax-x2

的定義域為集合B．
（I）求f(

1

2013

)+f(-

1

2013

)的值；
（II）求證：a≥2是A∩B=∅的充分非必要條件．

Answer 1

分析：（I）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，進(jìn)而根據(jù)奇偶性可得f(

1

2013

)+f(-

1

2013

)的值；
（II）分別求出A，B，分別討論是a≥2⇒A∩B=∅與A∩B=∅⇒a≥2的真假，進(jìn)而根據(jù)充要條件的定義可證得結(jié)論．

解答：解：（I）由題意得A={x|

2

x+1

-1＞0}={x|

x-1

x+1

＜0}=（-1，1）
又∵f(x)=lg(

2

x+1

-1)=lg(

1-x

x+1

)，
∴f（-x）=lg(

1+x

-x+1

)=lg(

1-x

x+1

)-1=-lg(

1-x

x+1

)=-f（x）
∴f（x）是奇函數(shù)
∴f(

1

2013

)+f(-

1

2013

)=0
（II）B={x|1-a²-2ax-x²≥0}=[-1-a，1-a]
當(dāng)a≥2時，1-a≤-1，此時A∩B=∅
當(dāng)A∩B=∅時，1-a≤-1，或-1-a≥1，即a≥2，或a≤-2
故a≥2是A∩B=∅的充分非必要條件

點評：本題考查的知識點是充要條件，函數(shù)求值，函數(shù)的奇偶性，集合之間的關(guān)系，其中（I）的關(guān)鍵是判斷出函數(shù)的奇偶性，（II）的關(guān)鍵是真正理解A∩B=∅的含義．