Question

設函數f(x)=sin2x+

3

sinxcosx+1(x∈R)．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期及單調遞增區間；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]，求函數f（x）的最大值和最小值；
（Ⅲ）若把函數f（x）的圖象按向量a平移后所得函數為奇函數，求使得|a|最小的a．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函數中的恒等變換將f（x）=sin²x+

3

sinxcosx+1化簡為：f（x）=sin（2x-

π

6

）+

3

2

，利用正弦函數的性質即可求f（x）的最小正周期及單調遞增區間；
（Ⅱ）利用正弦函數的單調性質可求得f（x）的最大值和最小值；
（Ⅲ）由前兩問可知，2x-

π

6

=kπ時，f（x）為奇函數，從而可求得其對稱中心，繼而可求得|

a

|最小時對應的向量．

解答：（本小題13分）
解：∵f（x）=sin²x+

3

sinxcosx+1
=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x+1
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+

3

2

…（2分）
（Ⅰ）函數f（x）的最小正周期
T=

2π

2

=π…（3分）
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

⇒kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
即函數f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．…（5分）
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
所以函數f（x）的最小值為1，最大值為

5

2

…（9分）
（Ⅲ）令2x-

π

6

=kπ，x=

kπ

2

+

π

12

（k∈Z），
即函數圖象對稱中心為（

kπ

2

+

π

12

，

3

2

）k=0時距原點最近，則滿足條件的|

a

|=（-

π

12

，-

3

2

）…（13分）

點評：本題考查三角函數中的恒等變換，考查正弦函數的最小正周期、單調區間、最值及對稱中心，熟練掌握正弦函數的性質是解決問題的基礎，屬于中檔題．